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ホーム 数 B 数列 2021年2月19日 この記事では、「階差数列」の意味や公式(階差数列の和を使った一般項の求め方)についてわかりやすく解説していきます。 漸化式の解き方なども説明していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね! 階差数列とは?
ホーム >> 数列 >> 階差数列を用いて一般項を求める方法 階差数列を用いてもとの数列の一般項を求める方法を紹介します.簡単な原理に基づいていて,結構使用頻度が多いので,ぜひマスターしましょう. 階差数列とは 与えられた数列の一般項を求める方法として,隣り合う $2$ つの項の差をとって順に並べた数列を考える方法があります. 数列 $\{a_n\}$ の隣り合う $2$ つの項の差 $$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1, 2, 3, \cdots)$$ を項とする数列 $\{b_n\}$ を,数列 $\{a_n\}$ の 階差数列 といいます. つまり,数列が $$3,10,21,36,55,78,\cdots$$ というように与えられたとします.この数列がどのような規則にしたがって並べられているのか,一見しただけではよくわかりません.そこで,この数列の階差数列を考えると,それは, $$7,11,15,19,23,\cdots$$ と等差数列になります.したがって一般項が簡単に求められます.そして,この一般項を使って,元の数列の一般項を求めることができるのです. 階差数列の解き方｜高校生／数学 ｜【公式】家庭教師のアルファ-プロ講師による高品質指導. まとめると, 階差数列の一般項がわかればもとの数列の一般項がわかる ということです. 階差数列と一般項 実際に,階差数列の一般項から元の数列の一般項を求める公式を導いてみましょう. 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると, $$b_1=a_2-a_1$$ $$b_2=a_3-a_2$$ $$b_3=a_4-a_3$$ $$\vdots$$ $$b_{n-1}=a_n-a_{n-1}$$ これら $n-1$ 個の等式の辺々を足すと,$n \ge 2$ のとき, $$b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}=a_n-a_1$$ となります.したがって,次のことが成り立ちます. 階差数列と一般項: 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると,$n \ge 2$ のとき, $$\large a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k$$ が成り立つ. これは,階差数列の一般項から,元の数列の一般項を求める公式です. 注意点 ・$b_n$ の和は $1$ から $n$ までではなく,$1$ から $n-1$ までです. ・この公式は $n \ge 2$ という制約のもとで $a_n$ を求めていますので,$n=1$ のときは別でチェックしなければいけません.ただし,高校数学で現れる大抵の数列 (ひねくれていない素直な数列) は,$n=1$ のときも成り立ちます.それでも答案で記述するときには,必ず $n \ge 2$ のときで公式を用いて $n=1$ のときは別でチェックするという風にするべきです.それは,自分はこの公式が $n \ge 2$ という制約のもとでしか使用できないことをきちんと知っていますよ!と採点者にアピールするという側面もあるのです.
東大塾長の山田です。 このページでは、 数学 B 数列の「階差数列」について解説します 。 今回は 階差数列の一般項の求め方から,漸化式の解き方まで,具体的に問題を解きながら超わかりやすく解説していきます 。 ぜひ勉強の参考にしてください! 1. 階差数列とは? まずは 階差数列 とは何か?ということを確認しましょう。 数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の隣り合う2つの項の差 \( b_n = a_{n+1} – a_n \) を項とする数列 \( \left\{ b_n \right\} \) を,数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の 階差数列 といいます。 【例】 \( \left\{ a_n \right\}: 1, \ 2, \ 5, \ 10, \ 17, \ 26, \ \cdots \) の階差数列 \( \left\{ b_n \right\} \) は となり,初項1,公差2の等差数列。 2. 階差数列の全てをわかりやすくまとめた（公式・漸化式・一般項の解き方） | 理系ラボ. 階差数列と一般項 次は,階差数列と一般項について解説していきます。 2. 1 階差数列と一般項の公式 階差数列と一般項の公式 注意 上記の公式は「\( n ≧ 2 \) のとき」という制約付きなので注意をしましょう。 なぜなら,\( n=1 \) のとき,シグマ記号が「\( k = 1 \) から \( 0 \) までの和」となってしまい,数列の和 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} b_k \) が定まらないからです。 \( n = 1 \) のときは,求めた一般項に \( n = 1 \) を代入して確認をします。 Σシグマの計算方法や公式を忘れてしまった人は「 Σシグマの公式まとめと計算方法(数列の和の公式) 」の記事で詳しく解説しているので,チェックしておきましょう。 2. 2 階差数列と一般項の公式の導出 階差数列を用いて,なぜもとの数列が「\( \displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k} \)」と表すことができるのか、導出をしていきましょう。 【証明】 数列 \( \left\{ a_n \right\} \) の階差数列を \( \left\{ b_n \right\} \) とすると これらの辺々を加えると,\( n = 2 \) のとき よって \( \displaystyle a_n – a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} b_k \) ∴ \( \displaystyle \color{red}{ a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k} \) 以上のようにして公式を得ることができます。 3.
難しい単元が続く高校数学のなかでも、階差数列に苦しむ方は多いのではないでしょうか。 この記事では、そんな階差数列を、わかりやすく解説していきます。 まずは数の並びに慣れよう 下の数列はある規則に基づいて並んでいます。第1項から第5項まで並んでいる。 第6項を求めてみよう では(1)から(5)までじっくり見ていきましょう。 (1) 3 6 9 …とみていった場合、この並びはどこかで見たことありませんか? そうです。今は懐かしい九九の3の段ではありませんか。第1項は3×1、第2項は3×2、 第3項は3×3というように項の数を3にかけると求めることができます。よって第6項は18。 (2) これはそれぞれの項を単体で見ると、1=1³ 8=2³ 27=3³となり3乗してできる数。 こういう数を数学では立方数っていいます。しかし、第1項が0³、第2項が1³…となっており3乗する数が項数より1少ないことがわかります。よって第6項は5³=125。 (3) 分母に注目してみると、2 4 8 16 …となっており、分母に2をかけると次の項になります。ということは第5項の分母が32なのでそれに2をかけると64となります。また、1つおきに-がついているので第6項は+となります。よって第6項は1/64。 (4) 分母と分子を別々に見ていきましょう。 分子は1 3 5 7 …と奇数の並びになっているので第6項の分子は11。 分母は1 4 9 16 …となっており、2乗してできる数(第1項は1²、第2項は2²…) だから、第6項の分母は36となり第6項は11/36。 さっき3乗してできる数は立方数っていったけど2乗バージョンもあるのか気になりませんか?ちゃんとあります!平方数っていいます。 立方や平方って言葉聞いたこと過去にありませんか? 小学校のときに習った、体積や面積の単位に登場してきてますね。 立方センチメートルだの平方センチメートルでしたよね。 (5) 今までのものとは違い見た目での特徴がつかみづらいと思いませんか?
階差数列を使う例題 実際に階差数列を用いて数列の一般項を求めてみましょう.もちろん,階差数列をとってみるという方法はひとつの指針であって,なんでもかんでも階差数列で解決するわけではないです.しかし,階差数列を計算することは簡単にできることなので,とりあえず階差をとってみようとなるわけです. 階差数列が等差数列となるパターン 問 次の数列の一般項を求めよ. $$3,7,13,21,31,43,57,\cdots$$ →solution 階差数列 $\{b_n\}$ は $4,6,8,10,12,14,\cdots$ です.これは,初項 $4$,公差 $2$ の等差数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=2n+2$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=3+\sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) $$ $$=3+n(n-1)+2(n-1)=n^2+n+1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$n^2+n+1$ です. 階差数列 一般項 中学生. 階差数列が等比数列となるパターン $$2,5,11,23,47,95,191,\cdots$$ 階差数列 $\{b_n\}$ は $3,6,12,24,48,96,\cdots$ です.これは,初項 $3$,公比 $2$ の等比数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=3\cdot2^{n-1}$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=2+\sum_{k=1}^{n-1} 3\cdot2^{k-1} $$ $$=2+\frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}=3\cdot2^{n-1}-1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$3\cdot2^{n-1}-1$ です.
階差数列まとめ さいごに今回の内容をもう一度整理します。 階差数列まとめ 【階差数列と一般項の公式】 【漸化式と階差数列】 \( \displaystyle \color{red}{ a_{n+1} = a_n + f(n)} \) (\( f(n) \) は階差数列の一般項) 以上が階差数列の解説です。 階差数列については,公式の導出の考え方が非常に重要です。 公式に頼るだけでなく,公式の導出と同様の考え方で,その都度一般項を求められる力もつけておきましょう。
5~10. 5倍に。さらに、おトクなクーポンなども用意されています。 ネットショッピングを日常的に利用しているという方は特に、ポイントがたまる速さを実感できそうですね。
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月イチでポイント大量獲得が可能! ドコモの通販サイトも利用 ドコモには「dショッピング」というネット通販サイトがあります。食品・アルコール類をはじめ、家電、ゲーム、日用品、医薬品なども販売する総合通販サイトです。 「このサイトでは、クレジットカード払いやドコモ払いだと110円につき1ポイント貯まります(dカードやdカードGOLDならこれに加えて100円で2ポイント)。また、私が毎月欠かさず利用しているのが、毎月20日に24時間限定で行われる『dショッピングデー』というイベント。公式サイトからエントリーすると、この日は、サイトで貯まるポイントが『20倍』に大幅にアップします(送料含め4, 400円以上購入の場合。通常の110円で1ポイントに加え、期間・用途限定の19ポイントが加算)。私はこの日に米や食料品をまとめ買いしてポイントを獲得するようにしています。ただし、キャンペーンでのポイント獲得上限が3, 000ポイントなので、買い物金額が15, 000円を超えないように注意しています(※)」 ドコモが運営する総合通販サイトの「dショッピング」は、毎月20日がねらい目 ※公式サイトには「キャンペーンの内容は毎月変わる可能性があります」との記載あり。ご利用の際は最新情報をご確認ください。また、初出時、dショッピングでのポイント付与で誤った記述がございました。お詫びして訂正いたします(2021年6月2日修正済み)。 7. 細かいキャンペーンも欠かさずチェック おちみかんさんのここまでのおトク技は、日々の買い物や毎月決まった日に行う、いわばルーティーンのようなもの。これ以外にも、単発的に行われるキャンペーンも活用しているといいます。 「最近は、ほかのQRコード決済などではなかなか大きなキャンペーンは見なくなってきましたが、d払いやdポイントカードは、比較的高還元のキャンペーンがまだ期待できます。キャンペーンの情報は、dポイントクラブの公式サイトに掲載されるので、見落とさないよう毎日チェックするのが私の日課です。ただし、私自身がやや郊外に住んでいることもあり、キャンペーンの対象店舗までかなりの距離を移動することも……。このあたりは、皆さんのお住まいとの兼ね合いで利用するかどうか判断したほうがいいと思います。開催されているキャンペーンによってポイント獲得の条件は異なりますが、基本的には『キャンペーン公式サイトからのエントリー(不要の場合もあり)』や、d払いが対象の場合は、支払い方法として『dカードからの支払い』『電話料金合算払い』『d払い残高からの支払い』あたりが条件になる傾向が多いように感じています」 これらのおトク技を駆使し、おちみかんさんは、月の獲得ポイントが70, 000ポイントに達することも(画像は、おちみかんさん提供の、dポイントクラブのスクリーンショット) 貯めたdポイントはどう使う?
5%(200円で1ポイント還元)です(リアル店舗の場合)。d払いの支払い方法としてdカードGOLD(dカードも可)を登録すると、『d払い分の0. 5%還元』と『dカードGOLD分の1%還元』の両方がもらえる『ポイント2重取り』になります。以前は、d払いで支払えるお店が少なかったのですが、最近はコンビニやスーパー、飲食店など使える場所がかなり増えてきたので、このやり方でdポイント獲得のチャンスが広がっています」 d払いとdカードGOLDのポイント還元を2重取りすることで、1. 5%還元 ネットショッピングでd払いを使うとさらにトク。金、土は合計4%還元 d払いはリアル店舗だけでなく、アマゾンやメルカリなど、ネットショッピングでの支払いにも使えます。金森さんはこちらもよく利用するとのこと。 「実は、d払いはネットでの支払いのほうがポイント還元率が高く、100円の利用で1ポイント(1%)になります。さらに、毎週金曜日と土曜日は、『d曜日』といって、還元率が『+2%』となり、合計3%還元になります(要エントリー)。ここに、先ほど話したdカードGOLD分の1%が加わるので、最高で4%の還元率が狙えるわけです」 ネットショッピングでd払いを使うとポイント還元率は1%となり、リアル店舗よりもおトク。さらに、d曜日に使うと3%還元 d払いが使えるECサイト例 ・amazon ・メルカリ ・ノジマオンライン ・タカシマヤオンラインストア ・ABCマートオンラインストア ・アニメイトオンラインショップ ほか 参照: d払いが使えるサイト(ドコモ) 2.
経済圏内のサービスが少ない 「楽天経済圏との比較になってしまいますが、ドコモ経済圏内で使えるサービスの数が少ないと感じます。たとえば、私は投資信託の積み立てをしているので、『証券』あるいは『銀行』がドコモ経済圏にあれば、高い確率で利用するでしょうし、それがポイント獲得につながってほしいと思います。今後、ドコモ経済圏がこれらのサービスを導入するのかどうかは、気になるところです」(金森さん) dショッピングの品ぞろえと値段が気になる 「私の場合は、毎月多くの恩恵を受けている、ドコモの通販サイト、dショッピングの品ぞろえです。総合通販サイトとうたってはいるものの、楽天市場やアマゾンなど他ECサイトに比べると品ぞろえは見落とりします。また、これは個人的な体感ですが、商品の値段もやや高めかなと……。今は、月に一度の『dショッピングデー』というメリットがあるのでいいのですが、今後もし条件などが『改悪』されれば、利用を少し考えるかもしれません」(おちみかんさん) 2021年7月、ドコモ経済圏を揺るがすショッキングな改悪が!?
現在、「楽天」「ドコモ」「au」「ヤフー」などが、各社サービスの利用額に応じてユーザーにポイントを還元する、いわゆる「ネット経済圏」と呼ばれる囲い込み施策に積極的です。これにより、ユーザー側も使い方次第で多くのポイントを貯められるようになっています。 前回 、「楽天経済圏」のヘビーユーザーに、その実態について取材したのに続き、今回は、2人の「ドコモ経済圏」の"住人"に取材し、彼らが実践している 「ドコモ経済圏の7つのおトク技」 を教えてもらいました。 ※特別な記載がない限り、文中の「ポイント」は「dポイント」を指します。また、文中の価格は税込みです。 ドコモ経済圏の2人のヘビーユーザーを取材しました! ドコモ歴20年のメリットをフル活用する会計士・税理士 最初に登場するのは、都内で公認会計士・税理士として活躍している金森俊亮さんです。中学3年生のときにドコモでガラケーデビューし、その後20年間、同じ電話番号を使っている長年のドコモユーザーです。かつてはdポイントへの関心は低かったそうですが、現在は年間7~8万ポイントを獲得するポイント好きに。何がきっかけだったのでしょうか?
docomoユーザーは知らないと損! 大手通販サイトなど様々なネットショッピングで、購入額の1%が「現金還元」される!? ドコモ ユーザー お 得 情報の. "docomoユーザー" にだけ許された裏ワザが凄い 大手通販サイトなど様々なネットショッピングで、購入額の1%が「現金還元」される!? "docomoユーザー" だけの裏ワザが凄い 近年、ネットで物を購入する人が増えている。 実際にモノを見て「実店舗」で購入することが一般的だった時代は過ぎ去り、今や「ネットショッピング」で効率的に買い物をするのは当たり前の時代。 「通販サイト」で欲しいものを検索し、空き時間に、便利に、素早く、購入ができるようになった。 しかし、皆さんがネットでモノを購入する際、 "意識をするもの" がひとつないだろうか? そう、 "ポイントの還元率" だ。 どうせネット通販を利用するのなら、ポイントを上手く活用して、お得に買い物をしたいと考えるユーザーがとても多い。 そんなポイント業界に、今 "大革命" が起きている。 なんと "docomoユーザー" だけが利用できるサービスで、 ネットショッピングを利用した際にこれまでの「ポイント」に加え、「現金」まで貯まるというから驚きの裏ワザだ。 今回は "docomoユーザー" なら必ず導入しておきたい、 "財テク" と、その仕組みを紹介したい。 ポイントだけではなく、現金も貯まる!?