= 0) continue;
T tmp = 0;
while (n% i == 0) {
tmp++;
n /= i;}
ret. push_back(make_pair(i, tmp));}
if (n! 素因数分解 最大公約数 アルゴリズム python. = 1) ret. push_back(make_pair(n, 1));
return ret;}
SPF を利用するアルゴリズム
構造体などにまとめると以下のようになります。
/* PrimeFact
init(N): 初期化。O(N log log N)
get(n): クエリ。素因数分解を求める。O(log n)
struct PrimeFact {
vector spf;
PrimeFact(T N) { init(N);}
void init(T N) { // 前処理。spf を求める
(N + 1, 0);
for (T i = 0; i <= N; i++) spf[i] = i;
for (T i = 2; i * i <= N; i++) {
if (spf[i] == i) {
for (T j = i * i; j <= N; j += i) {
if (spf[j] == j) {
spf[j] = i;}}}}}
map get(T n) { // nの素因数分解を求める
map m;
while (n! = 1) {
m[spf[n]]++;
n /= spf[n];}
return m;}};
Smallest Prime Factor(SPF) の気持ち
2つ目のアルゴリズムでは、Smallest Prime Factor(SPF) と呼ばれるものを利用します。これは、各数に対する最小の素因数(SPF) のことです。
SPF の前計算により \(O(1)\) で \(n\) の素因数 p を一つ取得することができます。
これを利用すると、例えば 48 の素因数分解は以下のように求めることができます。
48 の素因数の一つは 2 48/2 = 24 の素因数の一つは 2 24/2 = 12 の素因数の一つは 2 12/2 = 6 の素因数の一つは 2 6/2 = 3 の素因数の一つは 3 以上より、\(48 = 2^4 \times 3\)
練習問題
AOJ NTL_1_A Prime Factorize :1整数の素因数分解 codeforces #511(Div.
- 素因数分解 最大公約数 プログラム
- 素因数分解 最大公約数 最小公倍数 python
- 「忙しい」「できない」「間に合わない」から受かる！超効率勉強法 - 吉田穂波 - Google ブックス
- 家で仕事したくない。業務の勉強や努力も避けたい人は作業職をえらべ | ニートも採用される20代の就活法【1ヵ月で就職したい人限定】
素因数分解 最大公約数 プログラム
例えば12と18の、 最大公約数 と 最小公倍数 を求める方法として、 連除法 ( はしご算 )と呼ばれる方法があります(単に 素因数分解 ということもあります)。 12 と 18 を一番小さい 素数 の 2 でわり(普通のわり算と違って横棒を数字の下に書きます)、わった答えの 6 と 9 を、12と18の下に書きます。 さらに、 6 と 9 を 素数 の 3 でわり、わり算の答え 2 と 3 を、6と9の下に書きます。 2と3をわれる数は1以外にないので(1は素数ではありませんし、残った2と3が素数なので)これで終わりです。 このとき、 左の列 の 2 と 3 をかけた 2×3=6 が12と18の 最大公約数 です。 また、 左の列 の 2 と 3 と、 下 に残った 2 と 3 をかけた、 (2×3)×(2×3)=6×6=36 が、12と18の 最小公倍数 です。 ★なぜ、この方法で最大公約数と最小公倍数が求められるのか?
素因数分解 最大公約数 最小公倍数 Python
数学における 最大公約数の求め方について、早稲田大学に通う筆者が数学が苦手な生徒向けに丁寧に解説 します。
スマホでも見やすいイラストを使いながら最大公約数の求め方について解説します。
本記事を読めば、 最大公約数の意味(最大公約数とは何か)、最大公約数の求め方が理解できる でしょう。
また、最後には最大公約数の計算問題も用意しております。
最後まで読んで、ぜひ最大公約数をスラスラ求められるようになりましょう! ※最大公約数と合わせて最小公倍数も学習することをオススメします。 最小公倍数について解説した記事 もぜひご覧ください。
1:最大公約数の意味(最大公約数とは?) まずは最大公約数の意味(最大公約数とは何か)から理解しましょう。
すでに理解できている人は飛ばして大丈夫です。
最大公約数とは「2つ以上の正の整数に共通な約数のうち最大のもの」 のことを言います。
例えば、18、24という2つの正の整数の最大公約数を考えてみましょう。
18の約数は「1、2、3、6、9、18」 ですね。
24の約数は「1、2、3、4、6、8、12、24」 ですね。
以上 2つの共通な約数のうち、最大のものは6 ですね。
よって18と24の最大公約数は6になります。
以上が最大公約数の意味の解説です。
補足:最小公倍数の意味って? 素因数分解 最大公約数 プログラム. 最大公約数と似た言葉として、「最小公倍数」というのがあります。
簡単に解説しておくと、最小公倍数とは「2つ以上の正の整数の共通な倍数のうち最小のもの」のことを言います。
では、先ほどと同様に18、24という2つの正の整数を考えてみます。
18の倍数は「18、36、54、72、90・・・」 ですね。
24の倍数は「24、48、72、96・・・」 ですね。
以上の 2つの共通な倍数のうち、最小のものは72 ですね。
よって18と24の最小公倍数は72になります。
最大公約数だけでなく、最小公倍数の意味もしっかり理解しておきましょう! ※最小公倍数を深く学習したい人は、 最小公倍数について詳しく解説した記事 をご覧ください。
2:最大公約数の求め方(素因数分解を使おう!) では、最大公約数の求め方を学習していきましょう。
先ほどのように、2つの数の公約数を順番に書き出しても良いのですが、それでは数が大きくなると対処できないのでそれはやめましょう! 最大公約数は、素因数分解を使用すれば簡単に求めることができます。
※素因数分解を忘れてしまった人は、 素因数分解について詳しく解説した記事 をご覧ください。
例えば、XとYという2つの正の整数があるとします。
そして、
Xがp a ×q b ×r c に
Yがp d ×q e ×r f に素因数分解できたとします。
ここで、X、Yの pの指数(aとd) 、 qの指数(bとe) 、 rの指数(cとf) にそれぞれ注目します。
最大公約数は、aとd、bとe、cとfのそれぞれ小さい方を選んで、それらを掛け合わせることで求めることができます。
以上が最大公約数の求め方です。では、例題を1つ解いて見ましょう!
Else, return d.
このアルゴリズムは n が素数の場合常に失敗するが、合成数であっても失敗する場合がある。後者の場合、 f ( x) を変えて再試行する。 f ( x) としては例えば 線形合同法 などが考えられる。また、上記アルゴリズムでは1つの素因数しか見つけられないので、完全な素因数分解を行うには、これを繰り返し適用する必要がある。また、実装に際しては、対象とする数が通常の整数型では表せない桁数であることを考慮する必要がある。
リチャード・ブレントによる変形 [ 編集]
1980年 、リチャード・ブレントはこのアルゴリズムを変形して高速化したものを発表した。彼はポラードと同じ考え方を基本としたが、フロイドの循環検出法よりも高速に循環を検出する方法を使った。そのアルゴリズムは以下の通りである。
入力: n 、素因数分解対象の整数; x 0 、ここで 0 ≤ x 0 ≤ n; m 、ここで m > 0; f ( x)、 n を法とする擬似乱数発生関数
y ← x 0, r ← 1, q ← 1. Do:
x ← y
For i = 1 To r:
y ← f ( y)
k ← 0
ys ← y
For i = 1 To min( m, r − k):
q ← ( q × | x − y |) mod n
g ← GCD( q, n)
k ← k + m
Until ( k ≥ r or g > 1)
r ← 2 r
Until g > 1
If g = n then
ys ← f ( ys)
g ← GCD(| x − ys |, n)
If g = n then return failure, else return g
使用例 [ 編集]
このアルゴリズムは小さな素因数のある数については非常に高速である。例えば、733MHz のワークステーションで全く最適化していないこのアルゴリズムを実装すると、0.
回答日 2017/12/15 共感した 0 頭良いのに頭使わないなんて残念な感じですが…。
大手企業で2種類の方をよく見ます。
総合職でオッサン風のおばさん。
もう1種類の方は
可愛らしいまま大人になった大手企業のOLさん。
高収入ですが勉強しないでゆったり過ごされてます。
有給もいっぱい取れるし楽しそうですよ。 回答日 2017/12/15 共感した 0 メーカーの一般職は 回答日 2017/12/15 共感した 0 受付嬢 回答日 2017/12/15 共感した 0
「忙しい」「できない」「間に合わない」から受かる！超効率勉強法 - 吉田穂波 - Google ブックス
勉強しなくても なれる職業
学生の間 たとえ勉強しなくてもなれる職業ってあるんですか?
家で仕事したくない。業務の勉強や努力も避けたい人は作業職をえらべ | ニートも採用される20代の就活法【1ヵ月で就職したい人限定】
「勉強するのは学校を卒業するまで。大人になったら勉強しなくていい!」と思っている高校生も多いのでは?
ただどんな仕事をするにしてもある程度知識があった方が楽しく生きれると思います。仕事の幅が広がりますし、大人になって勉強してこなかったことを後悔する人大勢見てますよ。 1人 がナイス!しています フリーターや夜の職業など
またモデルなど探せばたくさん
あるのではないでしょうか。
1人 がナイス!しています