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ホーム >> 数列 >> 階差数列を用いて一般項を求める方法 階差数列を用いてもとの数列の一般項を求める方法を紹介します.簡単な原理に基づいていて,結構使用頻度が多いので,ぜひマスターしましょう. 階差数列とは 与えられた数列の一般項を求める方法として,隣り合う $2$ つの項の差をとって順に並べた数列を考える方法があります. 数列 $\{a_n\}$ の隣り合う $2$ つの項の差 $$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1, 2, 3, \cdots)$$ を項とする数列 $\{b_n\}$ を,数列 $\{a_n\}$ の 階差数列 といいます. つまり,数列が $$3,10,21,36,55,78,\cdots$$ というように与えられたとします.この数列がどのような規則にしたがって並べられているのか,一見しただけではよくわかりません.そこで,この数列の階差数列を考えると,それは, $$7,11,15,19,23,\cdots$$ と等差数列になります.したがって一般項が簡単に求められます.そして,この一般項を使って,元の数列の一般項を求めることができるのです. まとめると, 階差数列の一般項がわかればもとの数列の一般項がわかる ということです. 階差数列と一般項 実際に,階差数列の一般項から元の数列の一般項を求める公式を導いてみましょう. 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると, $$b_1=a_2-a_1$$ $$b_2=a_3-a_2$$ $$b_3=a_4-a_3$$ $$\vdots$$ $$b_{n-1}=a_n-a_{n-1}$$ これら $n-1$ 個の等式の辺々を足すと,$n \ge 2$ のとき, $$b_1+b_2+\cdots+b_{n-1}=a_n-a_1$$ となります.したがって,次のことが成り立ちます. 階差数列と一般項: 数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると,$n \ge 2$ のとき, $$\large a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_k$$ が成り立つ. これは,階差数列の一般項から,元の数列の一般項を求める公式です. 階差数列を用いて一般項を求める方法について | 高校数学の美しい物語. 注意点 ・$b_n$ の和は $1$ から $n$ までではなく,$1$ から $n-1$ までです. ・この公式は $n \ge 2$ という制約のもとで $a_n$ を求めていますので,$n=1$ のときは別でチェックしなければいけません.ただし,高校数学で現れる大抵の数列 (ひねくれていない素直な数列) は,$n=1$ のときも成り立ちます.それでも答案で記述するときには,必ず $n \ge 2$ のときで公式を用いて $n=1$ のときは別でチェックするという風にするべきです.それは,自分はこの公式が $n \ge 2$ という制約のもとでしか使用できないことをきちんと知っていますよ!と採点者にアピールするという側面もあるのです.
一緒に解いてみよう これでわかる! 練習の解説授業 この練習の問題は、例題と一続きの問題です。例題では、階差数列{b n}の一般項を求めましたね。今度は、数列{a n}の一般項を求めてみましょう。ポイントは次の通りでした。 POINT 数列{a n}において、 (後ろの項)-(前の項)でできる階差数列{b n} の 一般項はb n =2n+1 であったことを、例題で確認しました。 では、もとの数列{a n}の一般項はどうなりますか? a n =(初項)+(階差数列の和) で求めることができましたよね! 階差数列を用いて一般項を求める方法|思考力を鍛える数学. (階差数列の和)は第1項から 第n-1項 までの和であることに注意して、次のように計算を進めましょう。 計算によって出てきた a n =n 2 +1 は、 n≧2 に限るものであることに注意しましょう。 n=1についてはa n =n 2 +1を満たすかどうか、代入して確認する必要があります。 すると、a 1 =1 2 +1=2となり、与えられた数列の初項とちゃんと一致しますね。 答え
階差数列を使う例題 実際に階差数列を用いて数列の一般項を求めてみましょう.もちろん,階差数列をとってみるという方法はひとつの指針であって,なんでもかんでも階差数列で解決するわけではないです.しかし,階差数列を計算することは簡単にできることなので,とりあえず階差をとってみようとなるわけです. 階差数列が等差数列となるパターン 問 次の数列の一般項を求めよ. 階差数列の解き方｜高校生／数学 ｜【公式】家庭教師のアルファ-プロ講師による高品質指導. $$3,7,13,21,31,43,57,\cdots$$ →solution 階差数列 $\{b_n\}$ は $4,6,8,10,12,14,\cdots$ です.これは,初項 $4$,公差 $2$ の等差数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=2n+2$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=3+\sum_{k=1}^{n-1} (2k+2) $$ $$=3+n(n-1)+2(n-1)=n^2+n+1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$n^2+n+1$ です. 階差数列が等比数列となるパターン $$2,5,11,23,47,95,191,\cdots$$ 階差数列 $\{b_n\}$ は $3,6,12,24,48,96,\cdots$ です.これは,初項 $3$,公比 $2$ の等比数列です.したがって,$b_n$ の一般項は,$b_n=3\cdot2^{n-1}$ です.ゆえに,もとの数列 $\{a_n\}$ の一般項は,$n \ge 2$ のとき, $$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1} b_n=2+\sum_{k=1}^{n-1} 3\cdot2^{k-1} $$ $$=2+\frac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}=3\cdot2^{n-1}-1$$ となります.これは $n=1$ のときも成立するので,求める数列の一般項は,$3\cdot2^{n-1}-1$ です.
1 階差数列を調べる 元の数列の各項の差をとって、階差数列を調べてみます。 それぞれの数列に名前をつけておくとスムーズです。 \(\{b_n\} = 5, 7, 9, 11, \cdots\) 階差数列 \(\{b_n\}\) は、公差が \(2\) で一定です。 つまり、この階差数列は 等差数列 であることがわかりますね。 STEP. 2 階差数列の一般項を求める 階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項を求めます。 今回の場合、\(\{b_n\}\) は等差数列の公式から求められますね。 \(\{b_n\}\) は、初項 \(5\)、公差 \(2\) の等差数列であるから、一般項は \(\begin{align} b_n &= 5 + 2(n − 1) \\ &= 2n + 3 \end{align}\) STEP. 3 元の数列の一般項を求める 階差数列の一般項がわかれば、あとは階差数列の公式を使って数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めるだけです。 補足 階差数列の公式に、条件「\(n \geq 2\)」があることに注意しましょう。 初項 \(a_1\) の値には階差数列が関係ないので、この公式で求めた一般項が初項 \(a_1\) にも当てはまるとは限りません。 よって、一般項を求めたあとに \(n = 1\) を代入して、与えられた初項と一致するかを確認するのがルールです。 \(n \geq 2\) のとき、 \(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2k + 3) \\ &= 6 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n + 3(n − 1) \\ &= 6 + n^2 − n + 3n − 3 \\ &= n^2 + 2n + 3 \end{align}\) \(1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = 6 = a_1\) より、 これは \(n = 1\) のときも成り立つので \(a_n = n^2 + 2n + 3\) 答え: \(\color{red}{a_n = n^2 + 2n + 3}\) このように、\(\{a_n\}\) の一般項が求められました!
ホーム 数 B 数列 2021年2月19日 この記事では、「階差数列」の意味や公式(階差数列の和を使った一般項の求め方)についてわかりやすく解説していきます。 漸化式の解き方なども説明していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね! 階差数列とは?
お友達紹介クーポン 「お友達紹介クーポン」とは、 ジャパンタクシーを利用している人からコードを受け取り会員登録時に入力 することで取得できるクーポンです。 クーポンの割引価格は 500円 。紹介された人がクーポンを利用してタクシーに乗ると、 紹介した人にもクーポンが自動的に付与 されます。 お友達紹介クーポンを取得できるのは、 初回登録時のみ 。初回限定クーポンとの併用はできないので注意してください。 ジャパンタクシークーポンについてよくある4つの疑問 ここまでに解説した内容以外にも、ジャパンタクシーについて疑問を感じている方がいるかもしれませんね。 そこでここからは、ジャパンタクシーのクーポンについてよくある4つの疑問を解説します。 ジャパンタクシークーポンは初回以外(2回目)も使える? ジャパンタクシークーポンの有効期限は? 「無効なクーポンコードです」と表示される原因は? ジャパンタクシーアプリの登録を消す方法は? 1. ジャパンタクシークーポンは初回以外(2回目)も使える? ジャパンタクシーの初回登録クーポンは1回のみの利用です。そのため、 2回目からは割引を受けられず通常料金 となります。 しかし前述したようにジャパンタクシーには、 googleとauスマートパスプレミアムで受け取れるクーポン もあります。 それぞれ初回登録クーポン同様500円の割引を受けられるので、初回以降はこちらのクーポンを利用しましょう。 2. ジャパンタクシークーポンの有効期限は? ジャパンタクシーの初回登録クーポンには、 取得から30日間の有効期限 があります。この期間を過ぎてしまったら、クーポンは使えません。 取得したクーポンは30日以内に忘れずに使用しましょう。 3. 「無効なクーポンコードです」と表示される原因は? クーポンコードを入力して「無効なクーポンコードです」と表示されるのは、 クーポンの有効期限が過ぎてしまっている ことが原因です。有効期限が過ぎてしまうと、クーポンコードを入力しても取得できません。 また、前述したGoogleクーポンを会員登録時に入力しても、無効なクーポンコードとなります。 「無効なクーポンコードです」と表示された場合は、 クーポンコードの有効期限とクーポンの使用条件を確認 しましょう。 4. 【割引コード「394698」】ジャパンタクシークーポンを徹底解説！割引額は？使い方は？ | いつまでもアフタースクール. ジャパンタクシーアプリの登録を消す方法は? アプリを削除しただけでは、アカウントを消すことはできません。ジャパンタクシーのアカウントを消すための手順は、以下のとおりです。 「メニュー」→「アカウント」を選択 ページ下部にある「アカウントを削除」をクリック 会員登録を削除していいか再度確認されるので、「削除ボタン」をクリック 以上でアカウントの削除は完了。アカウントを削除すると、 決済方法やクーポンなど登録した情報がすべて削除 されます。 h2 まとめ〜ジャパンタクシークーポンでお得にタクシーを利用しよう 最後にここまでの内容をまとめます。 ジャパンタクシーは初回登録時に500円割引のクーポンがもらえる クーポンはネット決済時に使える クーポンには登録から30日間の有効期限がある ジャパンタクシーは、初回登録時にクーポンコードを入力することで 500円割引となるクーポン がもらえます。 Googleなど他のクーポンも取得すれば、さらにタクシー料金がお得です。 クーポンの利用は、クレジットカード払いなどの ネット決済時のみ 。現金払いも可能ですが、クーポンは使えません。 クーポンの使用は 1回限りで30日間の有効期限 があるので、使い忘れのないよう注意しましょう。 ジャパンタクシーを使えば自分の乗りたい場所に事前にタクシーを呼べるだけでなく、クーポンによる割引も受けられます。 タクシーによく乗る方はぜひ利用してみてくださいね。