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マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張 – Y-SAPIX|東大・京大・医学部・難関大学現役突破塾 「マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張」に関する解説 相加平均と相乗平均の関係の不等式は一般にn変数で成立することはご存じの方が多いでしょう。また、そのことの証明は様々な誘導つきでこれまでに何度も大学入試で出題されています。実はn変数の相加平均と相乗平均の不等式は、さらにマクローリンの不等式という不等式に拡張できます。今回はそのマクローリンの不等式について解説します。 キーワード:対称式 相加平均と相乗平均の大小関係 マクローリンの不等式
この記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。 はじめに 数学に出て来る数多くの公式の中でも有名である、相加相乗平均の不等式。 シンプルな形をしていて覚えやすいとは思いますが、あなたはこの公式を証明することはできますか? 単に式だけを覚えていて、なんで成り立つのかはわからない… というあなた。それはとても危険です。 相加相乗平均に限らず、公式がなぜ成り立つのかを理解しておかないと、公式が成り立つための条件などを意識することができず、それが答案上で失点へと結びついてしまいます。 この記事では、相加相乗平均を2つの方法で証明するだけでなく、文字が3つある場合の相加相乗平均の公式や、実際の問題を解く際の相加相乗平均の使い方についてお伝えします。 大学入試において、どうしても解けないと思った問題が、相加相乗平均を使ったらあっさり解けてしまった、ということは(本当に)よくあります。 この記事で相加相乗平均をマスターして、入試における武器にしてしまいましょう! 文字が2つのときの相加相乗平均の証明 ではまず、一番よく見るであろう、文字が2つのときの相加相乗平均について説明します。 そもそも「相加相乗平均」とは? マクローリンの不等式 相加平均と相乗平均の1つの拡張 – Y-SAPIX｜東大・京大・医学部・難関大学現役突破塾. そもそも「相加相乗平均」とはどういった公式なのでしょうか。 「相加相乗平均」とは実は略称であり、答案で書くべき名前は「相加相乗平均の不等式」です。 この公式を☆とおきます。 では、証明していきましょう! まずはオーソドックスな数式を使う相加相乗平均の証明 まずは数式で説明します。といっても簡単な証明です。 a≧0, b≧0のとき、 よって証明できました。 さて、☆にはなぜ、「a≧0かつb≧0」という条件が執拗なほどについてくるのでしょうか。 まず☆は√abを含んでいるので、この平方根を成立させるために、ab≧0である必要があります。 つまり (a≧0かつb≧0)または(a≦0かつb≦0) です。 しかし、a≦0かつb≦0のときを考えてみると、 (a+b)/2≧√ab≧0より、(a+b)/2は0以上でなければならないのにも関わらず、 (a+b)/2が0以上となるのはa=b=0のときのみですね。負の数に負の数を足したら負の数になるし、0に負の数を足しても負の数になることがその理由です。 そして、a=b=0は、「a≧0かつb≧0」に含まれています。 よって、☆が成り立つa, bの条件は、 a≧0かつb≧0 であるわけです。 問題を解いているときに、ついここを忘れて、負の数が入っているにも関わらず相加相乗平均を使ってしまい、まったく違う答えが出てしまったりします。 「相加相乗平均を使うときは、使う数がどっちも0以上でないといけない!!
タイプ: 教科書範囲 レベル: ★★★ 入試でも多用する,相加平均と相乗平均の大小関係について扱います. このページでは基本(2変数)を,主に最大・最小問題で自由自在に使えるようになるまで説明し,演習問題を多く用意しました. 相加平均と相乗平均の定義と関係式 ポイント 2変数の(相加平均) $\geqq$ (相乗平均) $\boldsymbol{a>0}$,$\boldsymbol{b>0}$ とするとき,$\dfrac{a+b}{2}$ を相加平均,$\sqrt{ab}$ を相乗平均といい $\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}}$ が成り立つ. 実用上はこれを両辺2倍した $\displaystyle \boldsymbol{a+b\geqq 2\sqrt{ab}}$ をよく使う. 等号成立は $\displaystyle \boldsymbol{a=b}$ のとき. (相加平均) $\geqq$ (相乗平均)の証明 この(相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うときには,基本的に以下の3ステップを踏みます. (相加平均) $\geqq$ (相乗平均)を使うための3ステップ STEP1: $a>0$,$b>0$ (主役2つが正である)ことを断る. 相加平均 相乗平均 違い. STEP2: $\dfrac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}$ または $a+b\geqq 2\sqrt{ab}$ を使用する. STEP3:等号成立確認を行う(等号成立は $a=b$ のとき) 注意点 特にSTEP3の等号成立確認は 最小値を求めるときには必須です(不等式の証明に必要ない場合もありますが,確認をする癖をつけて損はないです). 例えばAKR(当サイト管理人)の身長はおよそ $172$ cmです.朝起きた後や運動直後では多少変動するかもしれませんが (AKRの身長) $\geqq 100$ cm という不等式は正しいです. しかし実際に $100$ cmを取れるかは別の話で,等号が成り立つか確認しなければなりません. 例題と練習問題 例題 $x>0$ とする. (1) $x+\dfrac{16}{x}\geqq8$ を示せ. (2) $x+\dfrac{4}{x}$ の最小値を求めよ. (3) $x+\dfrac{16}{x+2}$ の最小値を求めよ.
高校数学における、相加相乗平均について、数学が苦手な生徒でも理解できるように解説 します。 現役の早稲田生が相加相乗平均について丁寧に解説しています。 相加相乗平均は、数学の問題の途中で利用することが多く、知っていないと解けない問題もあったりします。 本記事では、 一般的な相加相乗平均だけでなく、3つの変数における相加相乗平均や、使い方についても解説 していきます。 相加相乗平均について充実の内容なので、ぜひ最後まで読んでください! 1:相加相乗平均とは? (相加平均) ≧ (相乗平均) (基本編) | おいしい数学. (公式) まずは、相加相乗平均とは何か(公式)を解説します。 相加相乗平均とは、「2つの実数a、b(a>0、b>0)がある時、(a+b)/2≧√abが成り立ち、等号が成り立つのはa=bの時である」という公式のこと をいいます。 ※実数の意味がわからない人は、 実数とは何かについて解説した記事 をご覧ください。 また、(a+b)/2をaとbの相加平均といい、√abのことを相乗平均といいます。 以上が相加相乗平均とは何か(公式)についての解説です。 次の章では、相加相乗平均が成り立つ理由(証明)を解説します。 2:相加相乗平均の証明 では、相加相乗平均の証明を行っていきます。 a>0、b>0の時、 a+b-2√ab =(√a) 2 -2・√a・√b+(√b) 2 = (√a-√b) 2 ≧0 よって、 a+b-2√ab≧0 となるので、両辺を整理して (a+b)/2≧√ab となります。 また、等号は (√a-√b) 2 =0 より、 √a=√b、すなわち a=bの時に成り立ちます。 以上で相加相乗平均の証明ができました! 3:相加相乗平均の使い方 相加相乗平均はどんな場面・問題で使うのでしょうか? 本章では、例題を1つ使って、相加相乗平均の使い方をイメージして頂ければと思います。 使い方:例題 a>0とする。この時、a+1/2aの最小値を求めよ。 解答&解説 相加相乗平均より、 a+1/2a ≧ 2・√a・(1/2a) です。 右辺を計算すると、 2・√a・(1/2a) =√2 となるので、 a+1/2aの最小値は√2となります。 相加相乗平均の使い方がイメージできましたか? 今までは、aとbという2つの変数の相加相乗平均を解説してきました。 しかし、相加相乗平均は3つの変数でも活用できます。次の章からは、3つの変数の相加相乗平均を解説します。 4:変数が3つの相加相乗平均 変数が3つある場合の相加相乗平均は、「(a+b+c)/3≧(abc) 1/3 」となり、等号が成り立つのはa=b=cの時 です。 ただし、a>0、b>0、c>0とする。 次の章では、変数が3つの相加相乗平均の証明を解説します。 5:変数が3つの相加相乗平均の証明 少し複雑な証明になりますが、頑張って理解してください!
こんにちは。 いただいた質問について,さっそく回答いたします。 【質問の確認】 不等式の証明で,どんなときに,相加平均・相乗平均の関係を使ったらよいのかわかりません。 というご質問ですね。 【解説】 相加平均と相乗平均の大小関係は, 「 a >0, b >0 のとき, (等号が成り立つのは, a = b のとき)」 でしたね。 この関係は, 不等式を証明するときなどに使うことができるもの でした。 ただし,実際の問題では,どんなときに相加平均と相乗平均の大小関係を使ったらよいのか,どのような2数に対して当てはめればよいのか,迷うことがあると思います。 では,具体的に見ていきましょう。 ≪その1:どんなときに,相加平均と相乗平均の大小関係を使ったらよいの?
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1 7/28 1:19 ダイエット 太ももが太い人はスポッチャに行く時どのような格好で行けばいいですか? できるだけ太ももは隠したいです、、、。 1 7/28 1:17 ダイエット よく痩せたいって聞くけど本当に痩せたかったら本気出してもう痩せてるよ。でもなんだかんだ現状でいきてるよね。それは自分が思う以上に現状に満足しているということ。本気で今の自分が嫌なら誰にも会いたくないは ず といっている方をTikTokで見つけたのですが どう思いますか。 なんか納得いかないんですけど。 3 7/28 1:06 トレーニング 筋トレについての質問です。 10日〜15日ぐらいで細マッチョになる方法はありますか?? ちなみに今は高2(男)で身長は175の体重は68キロです。中学生まではサッカーをやっていました。筋トレのメニューなどを教えてください。ハードで構いませんが、なるべくハードじゃないのがいいです!笑 お願いします! 【肝臓のaltが高い場合は？】ガン患者さんに共通する血液検査データの特徴とは？医者も教えてくれない、有料級の情報をお伝えします。【栄養チャンネル信長】 | 健康・ダイエット・人気サプリの紹介サイト. 3 7/28 0:17 xmlns="> 100 トレーニング 美味しいプロテイン教えてください! ホエイの味が合わないのか、オプチマムもゴールドスタンダードも臭いと味が無理でした。これらより飲みやすいプロテインはあるのでしょうか。 1 7/28 1:11 マッサージ、整体 O脚を治すストレッチとかYouTubeでありますけど元の骨格なのに変わるわけないですよね? 4 7/26 22:37 ダイエット 1、2週間で結構効果あったよって言うダイエット動画?筋トレ動画?教えてください! 3 7/22 20:17 ダイエット 本当に悩んでいるので、回答お待ちしてます。 脚やせについてです。 私は、元バレー部でふくらはぎが異様にぱんぱんで両足の踵を合わせた時、ふくらはぎ同士がくっつくくらい太いです。 身長は159で体重は51キロなので、肥満というわけでもないと思います。 本当に嫌で、筋肉太りにはマッサージが1番と言われてから1ヶ月半くらいずっと脚やせのマッサージをしているのですが、全く細くなりません。前と変わりません。 1ヶ月半しかしてないじゃんと思われるかもしれませんが、毎日欠かさずやっているのにここまで変化が無さすぎると辛いし挫けそうです。 どうしたらふくらはぎは痩せるのでしょうか? 沢山の回答よろしくお願いします。 2 7/28 0:15 マッサージ、整体 オーイシさんと加藤さんのピザラジオで整体に行っている動画で、首や背骨をポキポキする施術をされてましたが、あれって大丈夫なんでしょうか?
飲むだけでは痩せませんよね?運動はやはり必要ですか? ちなみに私はたしかに薬で20キロ太りましたが、太る前から160/56で決して痩せ型ではありませんでした。 それどころか、人生で痩せていたことがありません。 なんというか、骨格から太っている感じです… 鎖骨も出ていたことがありません。 今ウエストは96cmもあります。とにかくお腹が出過ぎていてヤバいです…なんとかして痩せたいです。 防風通聖散の効果を活かすには、どんな事をしたら良いですか? また、お家の中で出来る良い運動なども教えていただけると嬉しいです。 0 7/28 2:19 マッサージ、整体 高一女子です。身長について本気で悩んでいます。 私は今147, 9cmで高一としてはすごく小さい方です。やっぱり服とかをスタイルよく着たいのでせめて155cmは欲しいと思ってました。 私は周りの子より成長が早めで、生理も小5の夏に来て、そのときは背の順で並んでも真ん中ら辺でした。 前に亜鉛を飲んだりしてましたが、変化がなかったのでやめました。 私の中での成長期はもう終わりましたが、これから身長を伸ばす策はありますか。 2 7/27 20:34 レディース全般 胸が大きく、服のボタンがはち切れそうになったり、 胸が目立ってしまうのがコンプレックスです。 サイズ的には問題ないはずなのに、胸のせいでキツキツになってしまいストレスです。 小さく見える下着を試したりもしましたが、 着ていて痛くなったり、疲れてしまったりして私には合いませんでした。 お洒落なブラウスやワンピースが大好きなのですが、いつも胸元がパンパンで。 どうしたらいいですか? 食事療法レシピ集 | 日本ケミファ. 2 7/28 0:42 ダイエット 子供ができたので一念発起してケトジェニックを始めて1週間ほどになって試験紙で1番右(濃い紫)になりました。 導入までは糖質を限りなく0にして脂質を多くとっていたのですが、ケトーシスになってからも脂質は多めにとった方がいいのでしょうか?
筋肉内のグリコーゲンは,運動をする際のエネルギー源? 肝臓 グルコース と 筋肉グルコース のエネルギーになるまでの経路... 回答受付中 質問日時: 2021/7/18 15:00 回答数: 0 閲覧数: 1 教養と学問、サイエンス > 生物、動物、植物 > ヒト 肝臓 について 肝臓 の数値が悪いです。(お酒の飲み過ぎ) 1ヶ月くらい禁酒すれば数値は良くなる... 良くなるでしょうか? 回答受付中 質問日時: 2021/7/19 9:08 回答数: 0 閲覧数: 0 健康、美容とファッション > 健康、病気、病院 > 病気、症状 肝臓 の病気について教えてください 肝嚢胞でお腹に水がたまりますか? 回答受付中 質問日時: 2021/7/15 21:31 回答数: 1 閲覧数: 0 健康、美容とファッション > 健康、病気、病院 > 病気、症状 肝臓 の機能について この答えを教えてください 回答受付中 質問日時: 2021/7/20 12:27 回答数: 0 閲覧数: 0 健康、美容とファッション > 健康、病気、病院 肝臓 の辺りが痛いです。 健康診断では肝機能を指摘され、脂肪肝か?という状態です。しばらく酒量が増え 増えたこともありましたが、ここ10日程度は全く飲まずです。 飲んでいたときは痛くも痒くもありませんでしたが、3日ほど前... 回答受付中 質問日時: 2021/7/15 9:32 回答数: 1 閲覧数: 2 健康、美容とファッション > 健康、病気、病院 > 病気、症状 肝臓 の数値は如何ほどですか? 脂質異常症にe献立 - eヘルシーレシピ - 第一三共株式会社. 年代と共にお答えいただけますか? ついでに飲酒量や、その他の生活 生活習慣も宜しければ軽くお願いします。 回答受付中 質問日時: 2021/7/15 2:56 回答数: 1 閲覧数: 2 健康、美容とファッション > 健康、病気、病院 > 病院、検査
anan的に注目! 腸活するならこの3種の水がオススメ。 アルカリイオン水 整水器があれば家で作れる。その効能は厚労省のお墨付き。 ミネラルウォーターとは違い、電解水整水器で電気分解して作られる、pH9〜10弱のアルカリ性の水のこと。電気分解の際に生じた水素が含まれている。現在は、慢性の下痢や消化不良、胃腸内異常発酵などの解消に効果があることが分かっています。初めて飲む人は、pH低めから飲み徐々にpHを高めたり、量を増やしたりしていくのがいいそう。 参考資料:アルカリイオン整水器協議会ホームページ スリムな本体はひとり暮らしの台所にも。 アルカリイオン整水器 TK‐AS47 19の物質を除去する高性能カートリッジを通し、胃腸症状の改善の効果があるpH8. 5、pH9. 脂質異常症 食事 レシピ 本. 0、pH9. 5の3段階の濃度のアルカリイオン水が作れ、さらに浄水や洗顔などに使える弱酸性水も整水してくれる。用途に合わせてボタンを押すだけの簡単操作。¥66, 000*編集部調べ(パナソニック TEL:0120・878・697) 【CHECK】 幅16. 8×奥行き9. 5cm。コンパクトサイズなので、水栓横のスペースにスッキリ設置が可能。ひとり暮らしの広くないキッチンでも、安心して置けるサイズ感。また選んだ水質はランプの色で知らせてくれるので、見た目にもわかりやすい。 ミネラルウォーター 体の中では作れないミネラル。含まれる水なら手軽に摂取が可能。 現代人の体はミネラルが不足しがち。特に腸活の観点からは、便秘がちな人の場合、マグネシウムを十分に摂ったほうがいいといわれています。サプリなどで補うという手もありますが、おすすめなのはミネラルが豊富に含有されている水を日常的にたっぷり飲むこと。含まれているミネラルの種類や含有量に大きな差があるので、きちんと確認しましょう。 霧島連山から湧き出る、ミネラル豊富な天然水。 霧島天然水のむシリカ 1Lあたりのシリカの含有量が97mgあり、その他カルシウムやマグネシウムなど他のミネラルも、バランスよくたっぷり含んでいるミネラルウォーター。飲みやすく、栄養素が多い中硬水。500ml 24本入り¥4, 500*編集部調べ(霧島天然水のむシリカ) 【CKECK】 霧島連山の大地から数百年の歳月をかけ流れ出てくる無添加の天然水は、ダントツのミネラル含有量を誇ります。スッキリとした飲み口が自慢。濃いブルーのラベルとシンプルなボトルの形状も美しく、毎日バッグに入れて持ち歩きたい一本。 炭酸水 シュワッとさわやか!
小松菜は熱湯で色よくゆでて冷水にとり、絞る。食べやすい長さに切り、Cであえる。 4. フライパンにごま油を熱して、(1. )を強火で焼き、両面焼き色がついたら水少々を加えてふたをし、弱火で蒸し焼きにして中まで火を通す。 5. (2. )~(4. )を器に盛る。おろし大根を軽く絞ってのせ、練りがらし、ポン酢しょうゆを添える。 エネルギー:443kcal 蛋白質:28. 0g 脂質:22. 3g 塩分:2. 9g きのこのマリネ えのき50g、しめじ50g、エリンギ50g、赤ピーマン10g A:みりん小さじ2杯、食酢大さじ1杯、オリーブ油大さじ1杯、食塩小さじ1/4杯、こしょう少々 1. A(マリネ液)をボールに合わせておく。 2. きのこ類は食べやすい長さに切りそろえ、茹でて水気を切る。 3. )を熱いうちに(1. )につけ、冷蔵庫で冷やし味をなじませる。 エネルギー:104kcal 蛋白質:2. 3g 脂質:8. 3g 塩分:1. 0g 鶏肉の焼き浸し 鶏むね肉200g、生姜(汁)5g、料理酒5cc(小さじ1)、食塩2g(小さじ2/5)、サラダ油3g、薄口しょうゆ8cc(大さじ1/2)、みりん10cc(大さじ1/2)、だし汁100cc、オクラ25g、食塩少々、刻みのり2g 1. 鍋にだし汁・薄口しょうゆ・みりんを入れ一度煮立たせ、浸し液を準備する。 2. 鶏肉に生姜(汁)・料理酒をかけ、フライパンで皮の方から焼き目が付くようにこんがり焼き、時々ふたをしながら中までしっかり火を通し、食塩で下味をつける。 3. )を(1. )に漬け、時々鶏肉を返しながら10分ほど浸す。 4. オクラはヘタを少しだけ落とし、食塩でもんだ後、色よくゆでる。 5. (3. )を取り出し食べやすい大きさにそぎ切りにする。 6. オクラは斜め半分に切り、鶏肉に添え、もみのりをかける。 エネルギー:282kcal 蛋白質:20. 6g 脂質:18. 8g 塩分:1. 8g なすの忘れ煮 材料(1人分) なす2~3個、昆布(5×5cm)1枚、干しえび大さじ1、水600cc、みょうが1/2、酒11cc(小さじ2)、みりん15cc(大さじ1)、しょうゆ7cc(小さじ1) 1. 昆布はぬれ布巾で汚れを拭く。干しえびは水で洗う。なべに昆布、干しえび、水をいれて浸しておく。 2. なすは洗ってガクの先のピラピラした部分を切り落とし、両面斜めに5mm幅に切り込みを入れる。 3.
トレーニング 結構体格もいい感じについててガタイ良いのに腹筋割れてない人っていますよね?腹だけ硬そうだけとか。あれなんでですか? 0 7/28 3:28 ダイエット 身長156cm 体重54. 2kg 体脂肪率 12. 6% の体型です。 1)体脂肪率が12%代の女性って痩せているらしいんですが私の容姿は全然痩せてるように見えないし, 標準体重? よりも重たいんですが 何故でしょうか。 骨ストっていうのも見た目に含まれているんでしょうか?? 2)韓国のアイドルのような見た目になれる方法や体重 等 教えて頂きたいです。 0 7/28 3:28 ダイエット 細くて貧相な脚の子がショートパンツを履くと気持ち悪いという意見をちらほら見かけたんですが、それは一番左の子のような太ももと膝下の太さが同じくらいの脚をさすんでしょうか?画像の左4人の脚は貧相に感じます か?意見を聞かせてください。 1 7/28 2:26 ダイエット この脚どう思いますか? 4 7/28 1:02 ダイエット ダイエットを今日から始めようと思ってるのですが、糖質制限と筋トレを同時に行うのは良くないですか? 色々調べては見たんですが色々な意見があってどれが正しいかわからないです、、、 5 7/27 5:45 ダイエット お見苦しい写真失礼します…。 150センチ60キロ手前のぽっちゃりです。 やばいと気づいて 最近、 約1万歩の散歩 筋トレの動画を2本見ながらやってます。 お腹の横に線(? )のようなものが入るようになったのですがどうしても下っ腹だけが垂れてる?感じになります。 これは筋トレを続けれ凹んでいくものなのでしょうか。 毎日これを見るとモチベが下がります。 2 7/28 1:50 マッサージ、整体 鼻の曲がりと顎の歪みって関係ありますか?