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解と係数の関係 数学Ⅰで、 2次方程式の解と係数の関係 について学習したかと思います。どういうものかというと、 2次方程式"ax²+bx+c=0"の2つの解を"α"と"β"としたとき、 というものでした。 この関係は、数学Ⅱで学習する虚数解が出る2次方程式でも成り立ちます。ということで、本当に成り立つか確かめてみましょう。 2次方程式の解と係数の関係の証明 2次方程式"2x²+3x+4=0"を用いて、解と係数の関係を証明せよ "2x²+3x+4=0"を解いていきます。 解の公式を用いて この方程式の解を"α"と"β"とすると とおくことができます。(αとβが逆でもかまいません。) αとβの値がわかったので、解と係数の関係の式が成り立つか計算してみましょう。 さて、 となったかを確認してみましょう。 "2x²+3x+4=0"において、a=2、b=3、c=4なので "α+β=−3/2"ということは、"α+β=−a/b"が成り立っている と言えます。 そして "αβ=2"ということは、"αβ=c/a"が成り立っている と言えます。 以上のことから、虚数解をもつ2次方程式でも 解と係数の関係 は成り立つことがわかりました。
このことから, 解の公式の$\sqrt{\quad}$の中身が負のとき,すなわち$b^2-4ac<0$のときには実数解を持たないことが分かります. 一方,$b^2-4ac\geqq0$の場合には実数解を持つことになりますが, $b^2-4ac=0$の場合には$\sqrt{b^2-4ac}$も$-\sqrt{b^2-4ac}$も0なので,解は の1つ $b^2-4ac>0$の場合には$\sqrt{b^2-4ac}$と$-\sqrt{b^2-4ac}$は異なるので,解は の2つ となります.これで上の定理が成り立つことが分かりましたね. 具体例 それでは具体的に考えてみましょう. 以下の2次方程式の実数解の個数を求めよ. $x^2-2x+2=0$ $x^2-3x+2=0$ $-2x^2-x+1=0$ $3x^2-2\sqrt{3}x+1=0$ (1) $x^2-2x+2=0$の判別式は なので,実数解の個数は0個です. (2) $x^2-3x+2=0$の判別式は なので,実数解の個数は2個です. (3) $-2x^2-x+1=0$の判別式は (4) $3x^2-2\sqrt{3}x+1=0$の判別式は 2次方程式の解の個数は判別式が$>0$, $=0$, $<0$どれであるかをみることで判定できる. 2次方程式の虚数解 さて,2次方程式の実数解の個数を[判別式]で判定できるようになりましたが,実数解を持たない場合に「解を持たない」と言ってしまってよいのでしょうか? 二次方程式の解 - 高精度計算サイト. 少なくとも,$b^2-4ac<0$の場合にも形式的には と表せるので, $\sqrt{A}$が$A<0$の場合にもうまくいくように考えたいところです. そこで,我々は以下のような数を定めます. 2乗して$-1$になる数を 虚数単位 といい,$i$で表す. この定義から ですね. 実数は2乗すると必ず0以上の実数となるので,この虚数単位$i$は実数ではない「ナニカ」ということになります. さて,$i$を単なる文字のように考えると,たとえば ということになります. 一般に,虚数単位$i$は$i^2=-1$を満たす文字のように扱うことができ,$a+bi$ ($a$, $b$は実数,$b\neq0$)で表された数を 虚数 と言います. 虚数について詳しくは数学IIIで学ぶことになりますが,以下の記事は数学IIIが不要な人にも参考になる内容なので,参照してみてください.
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