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正規分布 正規分布を標準正規分布に変形することを、 標準化 といいます。 (正規分布について詳しく知りたい方は 正規分布とは? をご覧ください。) 正規分布を標準化する式 確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ, σ^2)\)に従うとき、 $$ Z = \frac{X-μ}{σ} $$ と変換すると、\(Z\)は標準正規分布\(N(0, 1)\)(平均0, 分散1)に従います。 標準正規分布の確率密度関数 $$ f(X) = \frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$ 正規分布を標準化する意味 標準正規分布表 をご存知でしょうか?下図のようなものです。何かとよく使うこの表ですが、すべての正規分布に対して用意するのは大変です(というか無理です)。そこで、他の正規分布に関しては標準化によって標準正規分布に直してから、標準正規分布表を使います。 正規分布というのは、実数倍や平行移動を同じものと考えると、一種類しかありません。なので、どの正規分布も標準化によって、標準正規分布に変換できます。そういうわけで、表も 標準正規分布表 一つで十分なのです。 標準化を使った例題 例題 とある大学の男子について身長を調査したところ、平均身長170cm、標準偏差7の正規分布に従うことが分かった。では、身長165cm~175cmの人の数は全体の何%占めるか? 解説 この問題を標準化によって解く。身長の確率変数をXと置く。平均170、標準偏差7なので、Xを標準化すると、 $$ Z = \frac{X-170}{7} $$ となる。よって \begin{eqnarray}165≦X≦175 &⇔& \frac{165-170}{7}≦Z≦\frac{175-170}{7}\\\\&⇔&-0. 71≦Z≦0. 71\end{eqnarray} であるので、標準正規分布が-0. 71~0. 71の値を取る確率が答えとなる。 これは 標準正規分布表 より、0. 5223と分かるので、身長165cm~175cmの人の数は全体の52. 23%である。 ちなみに、この例題では身長が正規分布に従うと仮定していますが、身長が本当に正規分布に従うかの検証を、 【例】身長の分布は本当に正規分布に従うのか!? で行なっております。興味のある方はお読みください。 標準化の証明 初めに標準化の式について触れましたが、どうしてこのような式になるのか、証明していきます。 証明 正規分布の性質を利用する。 正規分布の性質1 確率変数\(X\)が正規分布\(N(μ, σ^2)\)に従うとき、\(aX+b\)は正規分布\(N(aμ+b, a^2σ^2)\)に従う。 性質1において\(a = \frac{1}{σ}, b= -\frac{μ}{σ}\)とおけば、 $$ N(aμ+b, a^2σ^2) = N(0, 1) $$ となるので、これは標準正規分布に従う。また、このとき $$ aX+b = \frac{X-μ}{σ} $$ は標準正規分布に従う。 まとめ 正規分布を標準正規分布に変換する標準化についていかがでしたでしょうか。証明を覚える必要まではありませんが、標準化の式は使えるようにしておきたいところです。 余力のある人は是非証明を自分でやってみて、理解を深めて見てください!
この記事では、「正規分布」とは何かをわかりやすく解説します。 正規分布表の見方や計算問題の解き方も説明しますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね! 正規分布とは?
さて、連続型確率分布では、分布曲線下の面積が確率を示すので、確率密度関数を定積分して確率を求めるのでしたね。 正規分布はかなりよく登場する確率分布なのに、毎回 \(f(x) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{− \frac{(x − m)^2}{2\sigma^2}}\) の定積分をするなんてめちゃくちゃ大変です(しかも高校レベルの積分の知識では対処できない)。 そこで、「 正規分布を標準化して、あらかじめ計算しておいた確率(正規分布表)を利用しちゃおう! 」ということになりました。 \(m\), \(\sigma\) の値が異なっても、 縮尺を合わせれば対応する範囲の面積(確率)は等しい からです。 そうすれば、いちいち複雑な関数を定積分しないで、正規分布における確率を求められます。 ここから、正規分布の標準化と正規分布表の使い方を順番に説明していきます。 正規分布の標準化 ここでは、正規分布の標準化について説明します。 さて、\(m\), \(\sigma\) がどんな値の正規分布が一番シンプルで扱いやすいでしょうか?
1 正規分布を標準化する まずは、正規分布を標準正規分布へ変換します。 \(Z = \displaystyle \frac{X − 15}{3}\) とおくと、\(Z\) は標準正規分布 \(N(0, 1)\) に従う。 STEP. 2 X の範囲を Z の範囲に変換する STEP. 1 の式を使って、問題の \(X\) の範囲を \(Z\) の範囲に変換します。 (1) \(P(X \leq 18)\) \(= P\left(Z \leq \displaystyle \frac{18 − 15}{3}\right)\) \(= P(Z \leq 1)\) (2) \(P\left(12 \leq X \leq \displaystyle \frac{57}{4}\right)\) \(= P\left(\displaystyle \frac{12 − 15}{3} \leq Z \leq \displaystyle \frac{\frac{57}{4} − 15}{3}\right)\) \(= P(−1 \leq Z \leq −0. 25)\) STEP. 3 Z の範囲を図示して求めたい確率を考える 簡単な図を書いて、\(Z\) の範囲を図示します。 このとき、正規分布表のどの値をとってくればよいかを検討しましょう。 (1) \(P(Z \leq 1) = 0. 5 + p(1. 00)\) (2) \(P(−1 \leq Z \leq −0. 25) = p(1. 00) − p(0. 4 正規分布表の値を使って確率を求める あとは、正規分布表から必要な値を取り出して足し引きするだけです。 正規分布表より、\(p(1. 00) = 0. 3413\) であるから \(\begin{align}P(X \leq 18) &= 0. 00)\\&= 0. 5 + 0. 3413\\&= 0. 8413\end{align}\) 正規分布表より、\(p(1. 3413\), \(p(0. 25) = 0. 0987\) であるから \(\begin{align}P\left(12 \leq X \leq \displaystyle \frac{57}{4}\right) &= p(1. 25)\\&= 0. 3413 − 0. 0987\\&= 0. 2426\end{align}\) 答え: (1) \(0.
5\) となる \(P(Z \geq 0) = P(Z \leq 0) = 0. 5\) 直線 \(z = 0\)(\(y\) 軸)に関して対称で、\(y\) は \(z = 0\) で最大値をとる \(P(0 \leq Z \leq u) = p(u)\) は正規分布表を利用して求められる 平均がど真ん中なので、面積(確率)も \(y\) 軸を境に対称でわかりやすいですね!
8413\)、(2) \(0. 2426\) 慣れてきたら、一連の計算をまとめてできるようになりますよ! 正規分布の標準偏差とデータの分布 一般に、任意の正規分布 \(N(m, \sigma)\) において次のことが言えます。 正規分布 \(N(m, \sigma)\) に従う確率変数 \(X\) について、 \(m \pm 1\sigma\) の範囲に全データの約 \(68. 3\)% \(m \pm 2\sigma\) の範囲に全データの約 \(95. 4\)% \(m \pm 3\sigma\) の範囲に全データの約 \(99. 7\)% が分布する。 これは、正規分布表から実際に \(\pm1\) 標準偏差、\(\pm2\) 標準偏差、\(\pm3\) 標準偏差の確率を求めてみるとわかります。 \(P(−1 \leq Z \leq 1) = 2 \cdot 0. 3413 = 0. 6826\) \(P(−2 \leq Z \leq 2) = 2 \cdot 0. 4772 = 0. 9544\) \(P(−3 \leq Z \leq 3) = 2 \cdot 0. 49865 = 0. 9973\) このように、正規分布では標準偏差を基準に「ある範囲にどのくらいのデータが分布するのか」が簡単にわかります。 こうした「基準」としての価値から、標準偏差という指標が重宝されているのです。 正規分布の計算問題 最後に、正規分布の計算問題に挑戦しましょう。 計算問題①「身長と正規分布」 計算問題① ある高校の男子 \(400\) 人の身長 \(X\) が、平均 \(171. 9 \ \mathrm{cm}\)、標準偏差 \(5. 4 \ \mathrm{cm}\) の正規分布に従うものとする。このとき、次の問いに答えよ。 (1) 身長 \(180 \ \mathrm{cm}\) 以上の男子生徒は約何人いるか。 (2) 高い方から \(90\) 人の中に入るには、何 \(\mathrm{cm}\) 以上あればよいか。 身長 \(X\) が従う正規分布を標準化し、求めるべき面積をイメージしましょう。 (2) では、高い方から \(90\) 人の割合を求めて、確率(面積)から身長を逆算します。 解答 身長 \(X\) は正規分布 \(N(171. 9, 5. 4^2)\) に従うから、 \(Z = \displaystyle \frac{X − 171.
払戻金 単勝 2 540円 3番人気 複勝 190円 6 330円 5番人気 11 140円 1番人気 枠連 1-3 2, 600円 10番人気 馬連 2-6 3, 380円 11番人気 ワイド 970円 2-11 430円 6-11 940円 9番人気 馬単 5, 440円 18番人気 3連複 2-6-11 4, 060円 3連単 26, 480円 72番人気 競走成績 着 順 枠 番 馬 番 馬名 性齢⁄馬体重⁄B タイム (着差) 通過順位 上3Fタイム 騎手 人気 (オッズ) 調教師 1 ラッキーライラック 牝4/518(-4)/ 2. 14. 1 07-08-08-08 32. 8 C. スミヨン 56. 0 3 (5. 4) 松永 幹夫 3 クロコスミア 牝6/448(+6)/ 2. 3 1 1/4馬身 01-01-01-01 34. 8 藤岡 佑介 7 (23. 1) 西浦 勝一 ラヴズオンリーユー 牝3/472(+16)/ 2. 3 クビ 02-02-02-02 33. 8 M. デムーロ 54. 0 1 (2. 5) 矢作 芳人 4 12 センテリュオ 牝4/464(-4)/ 2. 4 クビ 07-03-03-03 33. 7 C. ルメール 5 (20. 8) 高野 友和 5 8 クロノジェネシス 牝3/448(-4)/ 05-06-06-05 33. 3 北村 友一 2 (3. エリザベス女王杯 Ｇ１ レース結果(2020年11月15日 阪神11R) - UMATOKU | 馬トク. 5) 斉藤 崇史 17 サラキア 牝4/448(-2)/ 2. 5 クビ 03-03-05-05 33. 5 川田 将雅 9 (57. 1) 池添 学 7 16 スカーレットカラー 牝4/486(+14)/ 2. 7 1 1/4馬身 05-06-06-05 33. 6 岩田 康誠 4 (7. 7) 高橋 亮 9 アルメリアブルーム 牝5/442(+2)/ 2. 8 クビ 10-08-09-09 33. 3 武 豊 13 (108. 8) 高橋 康之 13 サトノガーネット 牝4/442(+2)/ 2. 9 3/4馬身 09-10-13-13 33. 2 坂井 瑠星 12 (84) 10 フロンテアクイーン 牝6/472(-4)/ 2. 9 クビ 03-03-04-03 34. 2 津村 明秀 10 (65. 2) 国枝 栄 ウラヌスチャーム 牝4/500(+2)/ 2.
※着順の()内の数字は入線順位。Bはブリンカーの有無。上3Fはゴール前3ハロン(600m)のタイム。オッズは単勝オッズ。減量表示は [ ☆:1kg減 △:2kg減 ▲:3kg減 ★:4kg減(※女性騎手のみ) ◇:2kg減(※5年以上、又は101勝以上の女性騎手のみ)] です。 通過順位、人気は月曜午後(土日開催の場合)に更新されます。 コーナー 通過順位 1角 11-4-3(6, 9)5(7, 17)(2, 12)(8, 14)(10, 18)1, 15(13, 16) 2角 11-4=3(6, 9)17(5, 7)(2, 12, 14)8(10, 18)-(1, 15)-16, 13 3角 11=4=5, 3, 9(6, 7, 12)(10, 17, 14)(2, 8)18(1, 15)13, 16 4角 11-4, 5, 3, 9(6, 7, 12)(10, 17)14(2, 8, 18)1(13, 16, 15)
2 クインS ブライトサンディー (栗)荻野光男 8. 3 サファイ 5. 1 2. 7 枠連 10, 250 馬連 10, 600 1994年 エリザベス女王杯(G1) 1994年11月13日 ヒシアマゾン 中舘英二 (美)中野隆良 2. 24. 3 ローズS チョウカイキャロル 小島貞博 アグネスパレード 10. 3 2. 4 1993年 エリザベス女王杯(G1) 1993年11月14日 ホクトベガ 加藤和宏 30. 4 482 2. 9 ノースフライト 角田晃一 (栗)加藤敬二 14. 25. 1 ベガ 3. 4 枠連 3, 650 馬連 25, 650 1992年 エリザベス女王杯(G1) 1992年11月15日 タケノベルベット (栗)小林稔 91. 1 0. 0 中日スポ メジロカンムリ (美)松山康久 ニシノフラワー 432 枠連 3, 140 馬連 70, 470 1991年 エリザベス女王杯(G1) 1991年11月10日 リンデンリリー 岡潤一郎 (栗)野元昭 434 2. 29. 6 ヤマノカサブランカ 安田隆行 (栗)中村好夫 12. 9 スカーレットブーケ 千田輝彦 16. 30. 2 1990年 エリザベス女王杯(G1) 1990年11月11日 キョウエイタップ (美)稗田研二 13. 5 牝馬東京 トウショウアイ 石橋守 (栗)柴田光陽 (+8) 2. 8 ウィナーズゴールド 柴田政人 (美)伊藤正徳 2. 26. 2 1989年 エリザベス女王杯(G1) 1989年11月12日 / 20頭 サンドピアリス 岸滋彦 (栗)吉永忍 20 430. 6 414 2. 28. 8 900万下・牝 ヤマフリアル 村本善之 27. 0 シンビクトリー (栗)新川恵 113. 1 19 STV杯 11