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この式を分散の計算公式に代入します. V(X)&=E(X^2)-\{ (E(X)\}^2\\ &=n(n-1)p^2+np-(np)^2\\ &=n^2p^2-np^2+np-n^2p^2\\ &=-np^2+np\\ &=np(1-p)\\ &=npq このようにして期待値と分散を求めることができました! 分散の計算は結構大変でしたね. を利用しないで定義から求めていく方法は,たとえば「マセマシリーズの演習統計学」に詳しく解説されていますので,参考にしてみて下さい. リンク 方法2 微分を利用 微分を利用することで,もう少しすっきりと二項定理の期待値と分散を求めることができます. 準備 まず準備として,やや天下り的ですが以下のような二項定理の式を考えます. 「もしも『十分原理』および『弱い条件付け原理』に私が従うならば，『強い尤度原理』にも私は従うことになる」ってどういう意味なの？（暫定版） - Tarotanのブログ. \[ (pt+q)^n=\sum_{k=0}^n{}_nC_k (pt)^kq^{n-k} \] この式の両辺を\(t\)について微分します. \[ np(pt+q)^{n-1}=\sum_{k=0}^n {}_nC_k p^kq^{n-k} \cdot kt^{k-1}・・・①\] 上の式の両辺をもう一度\(t\)について微分します(ただし\(n\geq 2\)のとき) \[ n(n-1)p^2(pt+q)^{n-2}=\sum_{k=0}^n{}_nC_k p^kq^{n-k} \cdot k(k-1)t^{k-2}・・・②\] ※この式は\(n=1\)でも成り立ちます. この①と②の式を用いると期待値と分散が簡単に求まります. 先ほど準備した①の式 に\(t=1\)を代入すると \[ np(p+q)^n=\sum_{k=0}^n){}_nC_k p^kq^{n-k} \] \(p+q=1\)なので \[ np=\sum_{k=0}^n{}_nC_k p^kq^{n-k} \] 右辺は\(X\)の期待値の定義そのものなので \[ E(X)=np \] 簡単に求まりました! 先ほど準備した②の式 \[ n(n-1)p^2(p+q)^{n-2}=\sum_{k=0}^n{}_nC_k p^kq^{n-k} \cdot k(k-1) \] n(n-1)p^2&=\sum_{k=0}^nk(k-1){}_nC_k p^kq^{n-k} \\ &=\sum_{k=0}^n(k^2-k){}_nC_k p^kq^{n-k} \\ &=\sum_{k=0}^nk^2{}_nC_k p^kq^{n-k} -\sum_{k=0}^nk{}_nC_k p^kq^{n-k}\\ &=E(X^2)-E(X)\\ &=E(X^2)-np ※ここでは次の期待値の定義を利用しました &E(X^2)=\sum_{k=0}^nk^2{}_nC_k p^, q^{n-k}\\ &E(X)=\sum_{k=0}^nk{}_nC_k p^kq^{n-k} よって \[ E(X^2)=n(n-1)p^2+np \] したがって V(X)&=E(X^2)-\{ E(X)^2\} \\ 式は長いですが,方法1よりもすっきり求まりました!
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E(X)&=E(X_1+X_2+\cdots +X_n)\\ &=E(X_1)+E(X_2)+\cdots +E(X_n)\\ &=p+p+\cdots +p\\ また,\(X_1+X_2+\cdots +X_n\)は互いに独立なので,分散\(V(X)\)は次のようになります. V(X)&=V(X_1+X_2+\cdots +X_n)\\ &=V(X_1)+V(X_2)+\cdots +V(X_n)\\ &=pq+pq+\cdots +pq\\ 各試行における新しい確率変数\(X_k\)を導入するという,一風変わった方法により,二項分布の期待値や分散を簡単に求めることができました! まとめ 本記事では,二項分布の期待値が\(np\),分散が\(npq\)となる理由を次の3通りの方法で証明しました. 方法3は各試行ごとに新しく確率変数を導入する方法で,意味さえ理解できれば計算はかなり簡単になりますのでおすすめです. しかし,統計学をしっかり学んでいこうという場合には定義からスタートする方法1や方法2もぜひ知っておいてほしいのです. 高校の数学Bの教科書ではほとんどが方法3を使って二項分布の期待値と分散を計算していますが,高校生にこそ方法1や方法2のような手法を学んでほしいなと思っています. もし可能であれば,自身の手を動かし,定義から期待値\(np\)と分散\(npq\)が求められたときの感覚を味わってみてください. 二項分布の期待値\(np\)と分散\(npq\)は結果だけみると単純ですが,このような大変な式変形から導かれたものなのだということを心に止めておいてほしいです. 二項定理｜項の係数を求めよ。 | 燕市 数学に強い個別指導塾＠飛燕ゼミ｜三条高 巻高受験専門塾｜大学受験予備校. 今回は以上です. 最後までお読みいただき,ありがとうございました! (私が数学検定1級を受験した際に使った参考書↓) リンク
時間はかかりますが、正確にできるはズ ID非公開 さん 2004/7/8 23:47 数をそろえる以外にいい方法は無いんじゃないかなー。
)経験を持つ森永からしたら ゲイバレの悲惨さを先輩にさせられないって すぐに先輩のそばに向かいたいとおもう気持ちに泣ける だからこそ 先輩 森永にもうちょっと優しく…て思うのだが いやそこは 女王であり暴君であってほしいんですよね?と自分の中で踏みとどまる 作者の意図はそこなのか?先生、悩ませますよね、って( ̄▽ ̄) 森永が倒れても暴君ぶりは健在ですが 心配できるところ(ああ、先輩も感情が成長している!! )が読めました そしてやっぱり森永と読者が一体となる萌えポイント 彼シャツに萌え袖… きっと鏡を見たらわたくしも森永と同じ顔をしていたに違いない!! 結局一緒のベッドで寝てしまうくらい森永LOVEなんだなと一瞬のデレに 感謝をする 久しぶりのヘタレワンコ攻めに これがなくては! ヤフオク! - 恋する暴君 ７ 8巻 高永ひなこ. !とがっつく💕💕💕 色っぽい兄さんを観るのが好きなのよーー ヘタレワンコにトロットロにされるのが好き そしてまた暴君健在のアピール( ´∀`)で、振り出しに戻れるんですよねーー どこが着地点なのか ふたりが穏やかに幸せに過ごす日がこの先来るのでしょうか? 書いていて涙があふれてきます… そんなことはあるのかと… だからあきらめて endlessで続く暴君とヘタレワンコの掛け合いを期待しています 高永先生が描かれた パラレルワールドの作品 ふたりがケモ耳で登場する 「ある日、森の中。」 狼の先輩と熊の森永 寿命の差があってどちらかが先にね 永遠の眠りにつくわけですが 号泣ものなので ハンカチ用意しておいてくださいね
内容紹介 製薬会社の新入社員として社会人デビューをした森永。 本社の浜松で研修が始まり宗一とは遠距離に。 しかも研修がハードでなかなか宗一と同居するマンションにも帰れない。 そんなある日、宗一が激怒する事件が…! 宗一の助手・田所を牽制すべく森永が二人の関係を匂わせたことがバレてしまった! 二度と帰ってくるなと言われて、森永、大ピンチ―――!!? 高永ひなこ先生 2020年2月 海王社 GUCHコミックス 森永哲博、へたれでわんこな後輩 × 巽宗一、ツンデレで凶暴な先輩(意地っ張りな女王様なのだ) 待ってました! 脳内では…そう! 鳥海さんのエンゼルくんが全力で「せぇんぱーーーーぁぁぁあい💕💕」って叫んでるっ!! でねでね 緑川さんが「もーーりーーなーーがーー(# ゚Д゚)っ」って返してる♡ その裏には一瞬しか出ないデレが貴重で… あっ! あーーっ! いま、デレ出ましたね、先輩!って突っ込んでしまう自分が居る(笑) はぁぁぁぅ~~幸せ♡ このヘタレ攻めの森永をこよなく愛してしまう 恋する暴君 森永が社会人になってからのエピソードです チャレンジャーズから始まった二人が スピンオフでここまでのお話になってくれて本当にうれしい💕 名古屋から浜松3時間となっておりますが タダね 新幹線ならそう時間がかからないんですが 浜松って 皆さんご存知でしたか? 平成の市町村合併により 広大な面積を持つ 日本第2番か3番目の都市ということを…(確かバスガイドさんが言っていた高山が1番面積が広い? )怪しい…(笑) ということは浜松駅から北に向かう(南は中田島砂丘)エリアはとにかく移動に時間がかかります きっとその設定なのだろうと どのへんかなーって想像するのが楽しい!